Mathe macht Spaß =D

Lösungen von Differentialgleichungen:

homogen, zB. 4y'' + 16y' - 48y = 0
y'(0) = 4
y(0) = 0

1. Ansatz e^µx einsetzen, da jede DGL diese Form hat.

y = e^µx
y' = µ * e^µx
y'' = µ² * e^µx

=> 4µ² * e^µx + 16µ * e^µx - 48 * e^µx = 0

4e^µx ausklammern

4e^µx * (µ² + 4µ - 12) = 0

Wir wissen, dass 4e^µx > 0 ist, also kann das vernachlässigt werden.

2. Charakteristische Gleichung lösen

µ² + 4µ - 12 = 0 (Charakteristische Gleichung)

Mit pq-Formel:

µ1,2 = - 2 +- sqrt( 4 + 12 ) = -2 +- 4

µ1 = -6
µ2 = 2

y1(x) = e^-6x
y2(x) = e^2x

3. Allgemeine Lösung

Die Allgemeine Lösung ist eine Linearkombination von y1 und y2

=> y(x) = C1 * y1 + C2 * y2 = C1 * e^-6x + C2 * e^2x
(C1,C2 € |R)

4. Eindeutige Lösung mit Hilfe von Anfangsbedingungen

Die Anfangsbedingungen waren:
y(0) = 4
y'(0) = 0

Diese setzt man jetzt ein:

4 = C1 * e^0 + C2 * e^0
4 = C1 + C2

0 = -6C1 * e^0 + 2C2 * e^0
0 = -6C1 + 2C2

Also hat man die beiden Gleichungen:

4 = C1 + C2
0 = -6C1 + 2C2

Die kann man jetzt lösen und erhält für C1 = 1 und C2 = 3

=> y(x) = e^-6x + 3 * e^2x


Yay. Hätte man inhomogene Gleichung wär's auch einfach:

4y'' + 16y' - 48y = 3

1. Allgemeine Lösung bestimmen (s.o.)

y(x) = C1 * e^-6x + C2 * e^2x

Anfangsbedingung bla, ebenfalls s.o.

=> y(x) = e^-6x + 3 * e^2x

2. Partikuläre Lösung (ist eine Konstante btw)

sei yp(x) = F

Dann sind die erste und zweite Ableitung = 0. Einsetzen:

4*0 + 16*0 - 48*F = 3
=> F = - 3 / 48

Allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist nun die partikuläre Lösung addiert zu der Lösung der homogenen DGL

y(x) = yp(x) + yh(x)

Also:

y(x) = - (3 / 48) + e^-6x + 3 * e^2x



easy as that! Lustig wird's, wenn die Lösungen komplex werden =O


Warum kann ich mir so einen Scheiß eigentlich merken und Drecks Patente nicht? -.-