:D
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Samstag, 21. August 2010
Donnerstag, 8. Oktober 2009
Fun Facts
Würfel für Blinde sind keine echten Würfel, da sich auf ihnen Stäbchen befinden, wodurch der Spieler die Augenzahl ertasten kann. Dadurch ergibt sich jedoch, dass die Seite mit den meisten Stäbchen (also die 6) häufiger unten liegt als die anderen.
Also wirft man mit Blindenwürfeln häufiger die 1 als normal. Ganz schöne Benachteiligung.
Außerdem schreiben wir die Stochastik Klausur an meinem Geburtstag. Super Sache!
Also wirft man mit Blindenwürfeln häufiger die 1 als normal. Ganz schöne Benachteiligung.
Außerdem schreiben wir die Stochastik Klausur an meinem Geburtstag. Super Sache!
Dienstag, 1. September 2009
Rekursionsformel von Burger
Ist fortan meine Lieblingsformel.
Sie wird benutzt, um Dither-Matrizen zu konstruieren und geht wie folgt:
Lecker Sache :D
Montag, 27. April 2009
Dr. Beyersdorff vs. Mephistopheles
Gebraucht der Zeit, sie geht so schnell von hinnen,
Doch Ordnung lehrt euch Zeit gewinnen.
Mein teurer Freund, ich rat euch drum
Zuerst Collegium logicum.
Da wird der Geist euch wohl dressiert,
In spanische Stiefel eingeschnürt,
Dass er bedächt´ger so fortan
Hinschleiche die Gedankenbahn,
Und nicht etwa die Kreuz und Quer,
irrlichtere hin und her.
Doch Ordnung lehrt euch Zeit gewinnen.
Mein teurer Freund, ich rat euch drum
Zuerst Collegium logicum.
Da wird der Geist euch wohl dressiert,
In spanische Stiefel eingeschnürt,
Dass er bedächt´ger so fortan
Hinschleiche die Gedankenbahn,
Und nicht etwa die Kreuz und Quer,
irrlichtere hin und her.
Dienstag, 7. April 2009
Books - again
Bücher, auch (oder gerade) Lehrbücher sollten den Leser schon mit dem ersten Satz fesseln und zum Weiterlesen anregen.
Gelingt diesen Büchern das? Decide for yourselves:
In der formalen Logik wird untersucht, wie man Aussagen miteinander verknüpfen kann und auf welche Weise man formal Schlüsse zieht und Beweise durchführt.
Softwarequalität kann eine spannende Sache sein. Das sieht man aber nicht sofort.
Na, welches würdet IHR am ehesten weiterlesen?
Gelingt diesen Büchern das? Decide for yourselves:
In der formalen Logik wird untersucht, wie man Aussagen miteinander verknüpfen kann und auf welche Weise man formal Schlüsse zieht und Beweise durchführt.
(Logik für Informatiker)
Softwarequalität kann eine spannende Sache sein. Das sieht man aber nicht sofort.
(Abenteuer Softwarequalität)
Welcome to computer graphics, arguably the most exciting area of computer science.
(Introduction to Computer Graphics)
Na, welches würdet IHR am ehesten weiterlesen?
Donnerstag, 29. Januar 2009
Numerik
Wie viel man lernen kann, wenn man sich nur mal hinsetzt.
Bis jetzt:
- Mittelpunktsregel (und zusammengesetzte Mittelpunktsregel)
- Trapezregel (und summierte Trapezregel)
- Simpson-Regel
- Berechnung von Schritten, die bei der summierten Trapezregel von Nöten sind, damit der Fehler kleiner als eine bestimmte Zahl wird
- Quadratur nach Gauß
- Romberg-Schema
- Eigenwert-Berechnung
- Potenzmethode nach von Mises
Enough now! [11:04 Uhr]
Bis jetzt:
- Mittelpunktsregel (und zusammengesetzte Mittelpunktsregel)
- Trapezregel (und summierte Trapezregel)
- Simpson-Regel
- Berechnung von Schritten, die bei der summierten Trapezregel von Nöten sind, damit der Fehler kleiner als eine bestimmte Zahl wird
- Quadratur nach Gauß
- Romberg-Schema
- Eigenwert-Berechnung
- Potenzmethode nach von Mises
Enough now! [11:04 Uhr]
Mittwoch, 28. Januar 2009
Kubische Splines
Kubische Splines werden unter anderem zur Berechnung des Bahnverlaufes bei Achterbahnen verwendet um die Beschleunigungen auf die Fahrgäste zu minimieren. Splines finden weitere Anwendung bei der exakten Verlegung der Schienen bei Hochgeschwindigkeitsstrecken der Eisenbahn.
Und da soll noch einer sagen, Mathematik hat keinerlei Anwendung im richtigen Leben :D
Und da soll noch einer sagen, Mathematik hat keinerlei Anwendung im richtigen Leben :D
Dienstag, 27. Januar 2009
Juchu
Ich hab eine Bayer Kaffeetasse :D
Plan für heute: Mindestens Numerik Übung 7 abschließen und 8 durcharbeiten! + Bilder in die MINIMAX-Doku rein. Waiiii~
Plan für heute: Mindestens Numerik Übung 7 abschließen und 8 durcharbeiten! + Bilder in die MINIMAX-Doku rein. Waiiii~
Donnerstag, 15. Januar 2009
Was hab ich heute gelernt?
Gesamtschritt- / Jacobiverfahren - relativ einfach zu merken, wenn man ein paar Aufgaben gerechnet hat.
Einzelschritt- / Gauß-Seidel-Verfahren - im Prinzip das Gleiche, nur dass in jedem Schritt das jeweils aktuelle x(k) genommen wird, also auch einfach zu merken.
SOR (successive-overrelaxation)- / Young-Verfahren - Etwas längere Formel und nerviges Hand-Rechnen. Hoffentlich ist ein DINA4-Blatt als Hilfsmittel erlaubt, sonst wär das ziemlich nervig auswendig zu lernen .. seht selbst:
Naja. Genug getan für heute.
Einzelschritt- / Gauß-Seidel-Verfahren - im Prinzip das Gleiche, nur dass in jedem Schritt das jeweils aktuelle x(k) genommen wird, also auch einfach zu merken.
SOR (successive-overrelaxation)- / Young-Verfahren - Etwas längere Formel und nerviges Hand-Rechnen. Hoffentlich ist ein DINA4-Blatt als Hilfsmittel erlaubt, sonst wär das ziemlich nervig auswendig zu lernen .. seht selbst:
Naja. Genug getan für heute.
Mittwoch, 7. Januar 2009
Cholesky-Zerlegung
Ziel: Finden einer Matrix S, fuer die gilt: A = S * S(T)
1. LR-Zerlegung durchfuehren.
2. D sei nun die Matrix bestehend aus der Diagonalen von R (restliche Eintraege sind 0)
3. S ist nun L * D^1/2
4. Probe: A = S * S(T)
Hach ja. So wenig Text fuer so viel verstehen. Ich haette nicht gedacht, dass die Zeit, die ich zu Hause lerne, ungefaehr der Vorlesungszeit entspricht:
Stoff, den ich heute geschafft habe: Die ersten beiden Uebungsblaetter Numerik + Hintergruende. Zeit: von 08:00 bis jetzt, 12:30. Also 4,5 Stunden.
In der Uni entspraeche dies zwei Vorlesungen + zwei Uebungen, also 2*1,5 + 2*1 Stunde = 5 Stunden. Zwischenfragen und Verspaetungen sind schliesslich auch mit drin, also ist die halbe Stunde Differenz nicht weiter schlimm.
Trotzdem haette ich gedacht, dass ich das zu Hause schneller schaffe als der Prof an der Uni.
Naja, lernen zur Schulzeit inlusive entsprechenden Pausen wie in der Schule (5 Minuten und zwei mal grosse Pause) ist trotzdem effektiv, das kann man so beibehalten.
1. LR-Zerlegung durchfuehren.
2. D sei nun die Matrix bestehend aus der Diagonalen von R (restliche Eintraege sind 0)
3. S ist nun L * D^1/2
4. Probe: A = S * S(T)
Hach ja. So wenig Text fuer so viel verstehen. Ich haette nicht gedacht, dass die Zeit, die ich zu Hause lerne, ungefaehr der Vorlesungszeit entspricht:
Stoff, den ich heute geschafft habe: Die ersten beiden Uebungsblaetter Numerik + Hintergruende. Zeit: von 08:00 bis jetzt, 12:30. Also 4,5 Stunden.
In der Uni entspraeche dies zwei Vorlesungen + zwei Uebungen, also 2*1,5 + 2*1 Stunde = 5 Stunden. Zwischenfragen und Verspaetungen sind schliesslich auch mit drin, also ist die halbe Stunde Differenz nicht weiter schlimm.
Trotzdem haette ich gedacht, dass ich das zu Hause schneller schaffe als der Prof an der Uni.
Naja, lernen zur Schulzeit inlusive entsprechenden Pausen wie in der Schule (5 Minuten und zwei mal grosse Pause) ist trotzdem effektiv, das kann man so beibehalten.
Mittwoch, 24. Dezember 2008
Wie man einen Weihnachtsmann fängt
Um dieses Problem bewältigen zu können, geben wir hier einige Lösungsvorschläge:
1. Die geometrische Methode:
Man stelle einen zylindrischen Käfig im Wald auf eine schneebedeckte Lichtung:
Fall 1: Der Weihnachtsmann ist innerhalb des Käfigs. Dieser Fall ist trivial.
Fall 2: Der Weihnachtsmann ist außerhalb des Käfigs. Dann stelle man sich in den Käfig und führe eine Inversion an den Käfigwänden durch. So gelangt der Weihnachtsmann in den Käfig und man selbst nach draußen. Man achte darauf, dass man sich nicht in die Mitte des Käfigs stellt, da man sonst im Unendlichen verschwindet.
2. Die Projektionsmethode:
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass die Erde eine Ebene ist. Wir projizieren nun diese Ebene auf eine Gerade, die durch den Käfig läuft, und diese Gerade auf einen Punkt im Käfig. Damit gelangt der Weihnachtsmann in den Käfig.
3. Die topologische Methode:
Der Weihnachtsmann kann topologisch als Torus aufgefasst werden. Man transportiere Waldlichtung in den vierdimensionalen Raum. Nun ist es möglich, die Lichtung so zu falten, dass der Weihnachtsmann beim Rücktransport in den dreidimensionalen Raum verknotet ist. Dann ist er hilflos.
4. Die stochastische Methode:
Man benötigt dazu ein Laplacerad, einige Würfel und eine Gaußsche Glocke. Mit dem Laplacerad fährt man in den Wald und wirft mit den Würfeln nach dem Weihnachtsmann. Kommt er nun mit seinem Schlitten angefahren, stülpe man die Gaußsche Glocke über ihn. Damit ist er mit der Wahrscheinlichkeit eins eingefangen.
5. Die Newtonsche Methode:
Käfig und Weihnachtsmann ziehen sich durch die Gravitation an. Bei Vernachlässigung der Reibung wird der Weihnachtsmann früher oder später im Käfig landen.
6. Die Heisenberg-Methode:
Ort und Geschwindigkeit eines bewegten Weihnachtsmanns lassen sich nicht gleichzeitig bestimmen. Da ein sich bewegender Weihnachtsmann auf einem Schneefeld keinen physikalisch sinnvollen Ort einnimmt, eignet er sich nicht zum Fangen. Die Weihnachtsmannjagd kann sich demnach nur auf einen ruhenden Weihnachtsmann beschränken. Das Fangen eines ruhenden, bewegungslosen Weihnachtsmanns wird dem Leser als Übungsaufgabe überlassen.
7. Die Schrödinger Methode:
Die Wahrscheinlichkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt einen Weihnachtsmann im Käfig zu finden ist größer als Null. Man setze sich hin und warte.
8. Die Einsteinsche Methode:
Man überfliege die Waldlichtung mit annähernd Lichtgeschwindigkeit. Durch die relativistische Längenkontraktion wird der Weihnachtsmann flach wie ein Papier. Man greife ihn, rolle ihn zusammen und mache ein Gummiband herum.
9. Die experimentalphysikalische Methode:
Man nehme eine semipermeable Membran, die alles außer dem Weihnachtsmann durchlässt und siebe damit den Wald aus.
1. Die geometrische Methode:
Man stelle einen zylindrischen Käfig im Wald auf eine schneebedeckte Lichtung:
Fall 1: Der Weihnachtsmann ist innerhalb des Käfigs. Dieser Fall ist trivial.
Fall 2: Der Weihnachtsmann ist außerhalb des Käfigs. Dann stelle man sich in den Käfig und führe eine Inversion an den Käfigwänden durch. So gelangt der Weihnachtsmann in den Käfig und man selbst nach draußen. Man achte darauf, dass man sich nicht in die Mitte des Käfigs stellt, da man sonst im Unendlichen verschwindet.
2. Die Projektionsmethode:
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass die Erde eine Ebene ist. Wir projizieren nun diese Ebene auf eine Gerade, die durch den Käfig läuft, und diese Gerade auf einen Punkt im Käfig. Damit gelangt der Weihnachtsmann in den Käfig.
3. Die topologische Methode:
Der Weihnachtsmann kann topologisch als Torus aufgefasst werden. Man transportiere Waldlichtung in den vierdimensionalen Raum. Nun ist es möglich, die Lichtung so zu falten, dass der Weihnachtsmann beim Rücktransport in den dreidimensionalen Raum verknotet ist. Dann ist er hilflos.
4. Die stochastische Methode:
Man benötigt dazu ein Laplacerad, einige Würfel und eine Gaußsche Glocke. Mit dem Laplacerad fährt man in den Wald und wirft mit den Würfeln nach dem Weihnachtsmann. Kommt er nun mit seinem Schlitten angefahren, stülpe man die Gaußsche Glocke über ihn. Damit ist er mit der Wahrscheinlichkeit eins eingefangen.
5. Die Newtonsche Methode:
Käfig und Weihnachtsmann ziehen sich durch die Gravitation an. Bei Vernachlässigung der Reibung wird der Weihnachtsmann früher oder später im Käfig landen.
6. Die Heisenberg-Methode:
Ort und Geschwindigkeit eines bewegten Weihnachtsmanns lassen sich nicht gleichzeitig bestimmen. Da ein sich bewegender Weihnachtsmann auf einem Schneefeld keinen physikalisch sinnvollen Ort einnimmt, eignet er sich nicht zum Fangen. Die Weihnachtsmannjagd kann sich demnach nur auf einen ruhenden Weihnachtsmann beschränken. Das Fangen eines ruhenden, bewegungslosen Weihnachtsmanns wird dem Leser als Übungsaufgabe überlassen.
7. Die Schrödinger Methode:
Die Wahrscheinlichkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt einen Weihnachtsmann im Käfig zu finden ist größer als Null. Man setze sich hin und warte.
8. Die Einsteinsche Methode:
Man überfliege die Waldlichtung mit annähernd Lichtgeschwindigkeit. Durch die relativistische Längenkontraktion wird der Weihnachtsmann flach wie ein Papier. Man greife ihn, rolle ihn zusammen und mache ein Gummiband herum.
9. Die experimentalphysikalische Methode:
Man nehme eine semipermeable Membran, die alles außer dem Weihnachtsmann durchlässt und siebe damit den Wald aus.
Dienstag, 16. Dezember 2008
Parallele im Unendlichen
Kurz:
Bei der Erweiterung einer affinen Ebene zu einer projektiven Ebene werden „unendlich ferne Punkte“ (Fernpunkte) hinzugefügt, die als Schnittpunkte der (bis dahin) parallelen Geraden dienen. Für jede Richtung, die Geraden haben können, wird genau ein neuer Punkt definiert.
=> d.h. Geraden mit gleicher Richtung haben einen gemeinsamen Fernpunkt im Unendlichen und schneiden sich dort.
ABER: Das ganze basiert auf der nicht-euklidischen Geometrie (das Axiom der Parallelen wurde entfernt), also funktioniert das nur dort.
Hab ich doch gesagt :)
---
Lang:
Euklid (ein alter Grieche ca. 300 v.Chr.) hat in seinem Buch "Die Elemente", die Grundlage der klassischen Geometrie (zumindest fuer die Ebenen) geschaffen. Dieses Buch ist streng logisch aufgebaut und versucht, wie alle guten Mathematikbuecher, bei einem Beweis nur Tatsachen zu verwenden, welche schon bekannt waren, weil sie schon bewiesen waren. Natuerlich hat das einen Haken.
Es ist unmoeglich einen "ersten Satz" zu beweisen, da man ja keine Aussagen zur Verfuegung hat, aus denen man etwas folgern koennte. Deshalb beginnt das Buch mit sogenannten Axiomen. Das sind Aussagen, die ohne Beweis als richtig angesehen werden, auf denen dann die gesamte Theorie aufbaut. Eines dieser Axiome ist das Parallelen Axiom. Es lautet ungefaehr so:
Sind in der Ebene eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf dieser Geraden liegt, gegeben, so existiert genau eine Gerade die durch P geht und g nicht schneidet. Geraden, die keinen Punkt gemeinsam haben (d.h. die sich nicht schneiden), nannte Euklid parallel. Viele Mathematiker fanden dieses Axiom jedoch als "unfein" und versuchten das Parallelenaxiom zu beweisen (mit Hilfe der anderen Axiome). Wenn man es beweisen koennte, so braeuchte man es nicht mehr als richtig vorauszusetzen.
Allerdings ist den Mathematikern dieser Beweis nicht gelungen, und Gauss (1777-1855), also ca. 2000 Jahre nach Euklid, hat gezeigt, dass es unmoeglich ist, das Parallelenaxiom mit Hilfe der anderen Axiome zu beweisen. Sein Gedanke war recht einfach: Er hat die Axiome von Euklid genommen und das Parallelenaxiom durch ein anderes ersetzt (z.B. je 2 verschiedene Geraden schneiden sich in genau einem Punkt). Danach zeigte er, dass die Axiome noch immer widerspruchsfrei (d.h. sich nicht gegenseitig wiedersprechen) sind, und dass man mit ihnen genauso gut Mathematik "machen" kann, wie mit den urspruenglichen Axiomen. Auf diese Weise gelangte Gauss zu den sogenannten "nicht - euklidischen Geometrien".
Zunaechst galten diese als "abstrakte Hirngespenster", bis Albert Einstein "auftauchte" und bei seiner allgemeinen Relativitaetstheorie Nicht-Euklidische Geometrien benutzte. Das einfachste Beispiel einer Nicht-Euklidischen Geometrie ist die "projektive Ebene": Stell Dir einen ganz normalen 3-dimensionalen Raum mit einem Koordinatensystem x-y-z vor. Die Ebene E sei parallel zur xz-Ebene und schneide die y-Achse bei 1.
Die Geraden die durch den Ursprung gehen bezeichnet man nun als Projektive Punkte (im Gegensatz zu den "normalen" Punkten des 3-dim. Raumes).
Jeder projektive Punkt schneidet entweder die Ebene E oder liegt in der xz-Ebene. Andersrum kann man sagen, dass jeder Punkt der Ebene E genau einen projektiven Punkt representiert, naemlich die Gerade die durch diesen Punkt und den Ursprung geht. Fuer jede Punktmenge der Ebene E (z.B. Kreise, Strecken) gibt es also eine aequivalente Menge projektiver Punkte.
Zusaetzlich gibt es noch die projektiven Punkte, die in der x-z-Ebene liegen. Diese nennt man unendlich ferne projektive Punkte oder auch kurz - Fernpunkte. Ein Fernpunkt ist also immer ein projektiver Punkt. Unter einer projektiven Geraden oder einer Geraden in der projektiven Ebene, versteht man eine Ebene im dreidimensionalen Raum, die den Ursprung enthaelt. Oder ganz korrekt: Die Menge aller projektiven Punkte, die in einer solchen Ebene enthalten sind.
Jede projektive Gerade - bis auf die x-z-Ebene, schneidet die Ebene E in einer Geraden. Ausserdem gilt: Jede projektive Gerade (ausser die x-z-Ebene) besteht aus (projektiven) Punkten, die von Punkten einer Geraden auf E erzeugt werden, und einem Fernpunkt. Die x-z-Ebene besteht genau aus allen Fernpunkten und wird deshalb Ferngerade genannt.
Erklaert man auf diese Weise, was man unter einer Geraden und einem Punkt in der projektiven Ebene verstehen will, so erhaelt man eine neue Geometrie, die offensichtlich sehr aehnlich der Geometrie auf der Ebene E ist, nur dass sie noch zusaetzliche Fernpunkte enthaelt, die zusammen die Ferngerade bilden.
Nimmt man nun zwei Geraden, die in der Ebene E liegen, dann schneiden sich diese in einem Punkt P oder sie sind parallel. Die entsprechenden Geraden der projektiven Ebene schneiden sich dann in dem projektiven Punkt der durch P representiert wird, oder, im Fall das beide Geraden in E parallel sind, in einem unendlich fernen Punkt (kurz: im Unendlichen).
Bei der Erweiterung einer affinen Ebene zu einer projektiven Ebene werden „unendlich ferne Punkte“ (Fernpunkte) hinzugefügt, die als Schnittpunkte der (bis dahin) parallelen Geraden dienen. Für jede Richtung, die Geraden haben können, wird genau ein neuer Punkt definiert.
=> d.h. Geraden mit gleicher Richtung haben einen gemeinsamen Fernpunkt im Unendlichen und schneiden sich dort.
ABER: Das ganze basiert auf der nicht-euklidischen Geometrie (das Axiom der Parallelen wurde entfernt), also funktioniert das nur dort.
Hab ich doch gesagt :)
---
Lang:
Euklid (ein alter Grieche ca. 300 v.Chr.) hat in seinem Buch "Die Elemente", die Grundlage der klassischen Geometrie (zumindest fuer die Ebenen) geschaffen. Dieses Buch ist streng logisch aufgebaut und versucht, wie alle guten Mathematikbuecher, bei einem Beweis nur Tatsachen zu verwenden, welche schon bekannt waren, weil sie schon bewiesen waren. Natuerlich hat das einen Haken.
Es ist unmoeglich einen "ersten Satz" zu beweisen, da man ja keine Aussagen zur Verfuegung hat, aus denen man etwas folgern koennte. Deshalb beginnt das Buch mit sogenannten Axiomen. Das sind Aussagen, die ohne Beweis als richtig angesehen werden, auf denen dann die gesamte Theorie aufbaut. Eines dieser Axiome ist das Parallelen Axiom. Es lautet ungefaehr so:
Sind in der Ebene eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf dieser Geraden liegt, gegeben, so existiert genau eine Gerade die durch P geht und g nicht schneidet. Geraden, die keinen Punkt gemeinsam haben (d.h. die sich nicht schneiden), nannte Euklid parallel. Viele Mathematiker fanden dieses Axiom jedoch als "unfein" und versuchten das Parallelenaxiom zu beweisen (mit Hilfe der anderen Axiome). Wenn man es beweisen koennte, so braeuchte man es nicht mehr als richtig vorauszusetzen.
Allerdings ist den Mathematikern dieser Beweis nicht gelungen, und Gauss (1777-1855), also ca. 2000 Jahre nach Euklid, hat gezeigt, dass es unmoeglich ist, das Parallelenaxiom mit Hilfe der anderen Axiome zu beweisen. Sein Gedanke war recht einfach: Er hat die Axiome von Euklid genommen und das Parallelenaxiom durch ein anderes ersetzt (z.B. je 2 verschiedene Geraden schneiden sich in genau einem Punkt). Danach zeigte er, dass die Axiome noch immer widerspruchsfrei (d.h. sich nicht gegenseitig wiedersprechen) sind, und dass man mit ihnen genauso gut Mathematik "machen" kann, wie mit den urspruenglichen Axiomen. Auf diese Weise gelangte Gauss zu den sogenannten "nicht - euklidischen Geometrien".
Zunaechst galten diese als "abstrakte Hirngespenster", bis Albert Einstein "auftauchte" und bei seiner allgemeinen Relativitaetstheorie Nicht-Euklidische Geometrien benutzte. Das einfachste Beispiel einer Nicht-Euklidischen Geometrie ist die "projektive Ebene": Stell Dir einen ganz normalen 3-dimensionalen Raum mit einem Koordinatensystem x-y-z vor. Die Ebene E sei parallel zur xz-Ebene und schneide die y-Achse bei 1.
Die Geraden die durch den Ursprung gehen bezeichnet man nun als Projektive Punkte (im Gegensatz zu den "normalen" Punkten des 3-dim. Raumes).
Jeder projektive Punkt schneidet entweder die Ebene E oder liegt in der xz-Ebene. Andersrum kann man sagen, dass jeder Punkt der Ebene E genau einen projektiven Punkt representiert, naemlich die Gerade die durch diesen Punkt und den Ursprung geht. Fuer jede Punktmenge der Ebene E (z.B. Kreise, Strecken) gibt es also eine aequivalente Menge projektiver Punkte.
Zusaetzlich gibt es noch die projektiven Punkte, die in der x-z-Ebene liegen. Diese nennt man unendlich ferne projektive Punkte oder auch kurz - Fernpunkte. Ein Fernpunkt ist also immer ein projektiver Punkt. Unter einer projektiven Geraden oder einer Geraden in der projektiven Ebene, versteht man eine Ebene im dreidimensionalen Raum, die den Ursprung enthaelt. Oder ganz korrekt: Die Menge aller projektiven Punkte, die in einer solchen Ebene enthalten sind.
Jede projektive Gerade - bis auf die x-z-Ebene, schneidet die Ebene E in einer Geraden. Ausserdem gilt: Jede projektive Gerade (ausser die x-z-Ebene) besteht aus (projektiven) Punkten, die von Punkten einer Geraden auf E erzeugt werden, und einem Fernpunkt. Die x-z-Ebene besteht genau aus allen Fernpunkten und wird deshalb Ferngerade genannt.
Erklaert man auf diese Weise, was man unter einer Geraden und einem Punkt in der projektiven Ebene verstehen will, so erhaelt man eine neue Geometrie, die offensichtlich sehr aehnlich der Geometrie auf der Ebene E ist, nur dass sie noch zusaetzliche Fernpunkte enthaelt, die zusammen die Ferngerade bilden.
Nimmt man nun zwei Geraden, die in der Ebene E liegen, dann schneiden sich diese in einem Punkt P oder sie sind parallel. Die entsprechenden Geraden der projektiven Ebene schneiden sich dann in dem projektiven Punkt der durch P representiert wird, oder, im Fall das beide Geraden in E parallel sind, in einem unendlich fernen Punkt (kurz: im Unendlichen).
Dienstag, 21. Oktober 2008
S-Bahn
Was für gruselige Sachen man in der S-Bahn mitbekommt ...
Der Einheitsvektor ist (1 / ||v|| ) * v
omg
Der Einheitsvektor ist (1 / ||v|| ) * v
omg
Donnerstag, 24. Juli 2008
Donnerstag, 17. Juli 2008
Samstag, 12. Juli 2008
Dienstag, 8. Juli 2008
Donnerstag, 3. Juli 2008
Shine omaera
Von 10 Stunden Schlaf runter auf 5. Graaablargh.
Ferien. Wo seid ihr D:
Produktives heute geleistet:
Polynomdivision wieder gelernt. Yay.
Mir vorgenommen, jeden Tag Mittagschlaf zu halten weil überdurchschnittlich viele Leute über 100 täglich Mittagsschlaf schon immer gehalten haben :D
Gute Nacht~
Ferien. Wo seid ihr D:
Produktives heute geleistet:
Polynomdivision wieder gelernt. Yay.
Mir vorgenommen, jeden Tag Mittagschlaf zu halten weil überdurchschnittlich viele Leute über 100 täglich Mittagsschlaf schon immer gehalten haben :D
Gute Nacht~
Dienstag, 17. Juni 2008
Neulich, halb Eins am Bahnhof...
Viel Spaß in Minden, Artem xD
---
When a twelfth century youth fell in love he did not take three paces backward, gaze into her eyes, and tell her she was too beautiful to live. He said he would step outside and see about it. And if, when he got out, he met a man and broke his head - the other man's head, I mean - then that proved that his - the first fellow's - girl was a pretty girl. But if the other fellow broke his head - not his own, you know, but the other fellow's - the other fellow to the second fellow, that is, because of course the other fellow would only be the other fellow to him, not the first fellow who - well, if he broke his head, then his girl - not the other fellow's but the fellow who was the -
Look here, if A broke B's head, then A's girl was a pretty girl; but if B broke A's head, then A's girl wasn't a pretty girl, but B's girl was.
Dienstag, 15. April 2008
Diskrete Strukturen
Sehr interessant. Fördert die Kreativität ungemein.
Wie man sieht :D Eigentlich gehts da links noch weiter, der Leuchtturm macht ein Batman-Zeichen und auf dem Meer ist ein Schiff und darüber ein Flugzeug ^-^
Außerdem Pascal'sches Dreieck bis zur 14. Reihe gerechnet, bis mir das mit dem Arm eingefallen ist =D
Pascal'scher Satz:
I. Die jeweils nächste Reihe des Pascal'schen Dreiecks bildet sich aus den beiden jeweils darüber stehenden Zahlen.
II. Das Pascal'sche Dreieck aufzuschreiben macht verdammt Spaß.
1 14 91 374 1141 2362 3343 3652 3652 3343 2362 1141 374 91 14 1
Und Diskrete Strukturen ist auch schon wieder ganz stark ein Kandidat für selbstständig aus Buch lernen und nicht zur Vorlesung gehen. Ich will ja echt keine Klischees verbreiten, Frauen können kein Mathe und so, aber was sie da teilweise macht ist echt der Witz. Zum Beispiel die Beweise - ihre tollen "Kombinatorischen Beweise", die ja so viel toller sind, weil man "das an rechnerischen Beweisen immer nicht so gut sieht" (Zitat).
Mein Favorit von heute - der "kombinatorische Beweis" für den Binomialkoeffizienten.
Binomialsatz:
Seien a, b mit ab = ba (Elemente aus einem Ring)
Dann gilt:
"Kombinatorischer Beweis":
FERTIG.
Merk ich mir, um ne Formel zu beweisen, reicht es, Zahlenwerte einzusetzen. TOP.
Wie man sieht :D Eigentlich gehts da links noch weiter, der Leuchtturm macht ein Batman-Zeichen und auf dem Meer ist ein Schiff und darüber ein Flugzeug ^-^
Außerdem Pascal'sches Dreieck bis zur 14. Reihe gerechnet, bis mir das mit dem Arm eingefallen ist =D
Pascal'scher Satz:
I. Die jeweils nächste Reihe des Pascal'schen Dreiecks bildet sich aus den beiden jeweils darüber stehenden Zahlen.
II. Das Pascal'sche Dreieck aufzuschreiben macht verdammt Spaß.
1 14 91 374 1141 2362 3343 3652 3652 3343 2362 1141 374 91 14 1
Und Diskrete Strukturen ist auch schon wieder ganz stark ein Kandidat für selbstständig aus Buch lernen und nicht zur Vorlesung gehen. Ich will ja echt keine Klischees verbreiten, Frauen können kein Mathe und so, aber was sie da teilweise macht ist echt der Witz. Zum Beispiel die Beweise - ihre tollen "Kombinatorischen Beweise", die ja so viel toller sind, weil man "das an rechnerischen Beweisen immer nicht so gut sieht" (Zitat).
Mein Favorit von heute - der "kombinatorische Beweis" für den Binomialkoeffizienten.
Binomialsatz:
Seien a, b mit ab = ba (Elemente aus einem Ring)
Dann gilt:
"Kombinatorischer Beweis":
FERTIG.
Merk ich mir, um ne Formel zu beweisen, reicht es, Zahlenwerte einzusetzen. TOP.
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