Lecture #1
The Geometry of Linear Equations
- n linear equations, n unknowns
- row picture (1 equation at a time)
- column picture (1 column at a time)
- matrix form
Example:
In matrix form:
Coefficient matrix by a vector equals another vector
Linear equation:
Row picture:
1. We need all points that satisfy the first equation
For example:
If x = 0, then y must be 0 -> (0|0)
If x = 1, then y must be 2 -> (1|2)
That gives us a line.
2. All points that satisfy the second equation:
If y equals 0, then x equals -3 -> (-3 | 0)
If x equals -1, then y equals 1 -> (-1 | 1)
That gives us a second line:
Both lines meet in the point (1|2), so the vector (1|2) solves both equations.
Column picture:
This is a linear combination of the columns.
Column 1 by x + Column 2 by y = b.
We already know the x and y: x = 1, y = 2. So we add ONE TIME the vector (2|-1) to TWICE the vector (-1|2), so we get (0|3).
Graphically:
Example with 3 equations and 3 unknowns:
2x - y = 0
-x + 2y - z = -1
-3y + 4z = 4
Matrix form:
Row picture:
The 3 points (1|0|0), (0|0|1), (0| -0.5 | 0) lie in 3 different planes. The 3 planes meet in one point. This point satisfies all 3 equations, so that's our solution.
Yep, pretty confusing. So row picture = shit.
How do we get the solution? With ELIMINATION! Yay.
Another example:
Here, the b is just the sum of the first and second vector. So the solution is obvious:
x = 1, y = 1, z = 0
Let's think about all possible b's. Can we solve A*x = b for every b?
In other words: Do the linear combinations of the columns fill three-dimensional space?
For this example: YES, they do, the matrix is non-singular and invertable.
When would the answer be NO?
If all three componants lie in the same plane. Easy. If they all lie in the same plane, no matter how we combine them, we would stay in that plane, so the b's outside the plane would not satisfy the equation.
Multiplication of a matrix and a vector:
Two ways:
1. a column at a time (~> A*x is a combination of the columns of A)
So basically the x-component of the vector multiplied with the first column = new x-component
and y-component of the vector multiplied with the second column = new y-component. Easy stuff.
2. a row at a time (this sucks..)
So "just" the first component of the first row by the x-component of the vector + the second component of the first row by the y-component of the vector. That's the new x-component. Same thing for the y-component.
I think, the first way is better, easier to remember and you don't get confused as easily if you have 3+ rows / vectors etc.
That's it! Next time: Gauß-Elimination :D
Englisch halt weil die Vorlesung auf Englisch ist, dann auch auf Englisch mitgeschrieben, einfacher in einer Sprache zu bleiben und nicht großartig umzudenken.
Hach ja. Naja und E-Technik heute noch nicht gemacht, weil ich überraschend mit Kris, Marlon, Andi und Tobi ins Kino nach Oeynhausen bin ... No Country for Old Men, ziemlich genialer Film, von dem ich vorher noch gar nix gehört hatte, obwohl er wohl 3 Oscars gekriegt hat. Zu Recht. Zwar ziemlich psychopathisch und storymäßig sinnlos, zeigt aber ziemlich gut auf, wie unbedeutend eigentlich so ein einzelner Mensch ist und wie viel im Leben vom Zufall abhängt.
Das Ende war auch ziemlich cool, Tommy Lee Jones erzählt von dem Traum, den er in der Nacht zuvor hatte. Werd ihn mir sehr wahrscheinlich auch noch mal auf Englisch anschauen, toll toll toll.
Lalala, und so viel zu merken, was in nächster Zeit zu tun ist...
Jeden Tag: LinAlg + E-Technik
Nächste Tage: Gucken ob Volkers Wacken Geld ankommt, wenn ja und Adrians Geld noch nicht da: Adrian sagen, dass er endlich überweisen soll, dann Karten bestellen.
Freitag: Zu Brosius! (Und Kris für Jens halten)
Samstag: Abifeier.
Montag, 25.03.: EBS Ergebnisse abholen und Klausur angucken.
Montag, 31.03.: WDR Rockpalast gucken, Wacken :DDD
Ach und ich muss mich auch endlich mal um meine Festplatte kümmern.
Meine Fresse ist dieser Eintrag lang ^^
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